수학, 답지를 옆에 펴두고 공부하면 효과가 있을까? 자유자재 박중희 칼럼

수학문제를 풀때 답을 옆에 펴두고 공부하는 것과

문제가 풀릴때까지 연구하고 개념찾아보고 공부하여 해결하는 것을 하면

성적은 누가 더 잘 나올까?

답은 "상황에 따라 다르다"입니다.

어떤 경우는 답안지 펴두고 공부한 학생이 성적이 더 잘 나오기도 합니다. 

즉 개념은 연구하여 공부한다고 성적이 더 잘나오는 것은 아닐 수도 있다는 것입니다.기계적으로 답을 외우고 반복하여 풀기를 연습하는 것이 시험에는 오히려 유리할 수도 있습니다. 그래서 학원에서 혹은 과외등을 하면서 그것을 반복하는 것입니다. 그래서 시험이라는 것이 모든 것을 보여주는 것은 아닙니다. 그가 성적을 받기 위해서 노력하는 과정을 보여주지는 못하는 것입니다.

그렇다면 생각봐야 합니다. 그럼 바보처럼 억척스럽게 개념 찾아보는데 시간을 낭비하고 힘들게 필기하고 고민하면서 연구한다고 시간보낼 것이 아니라, 빠르게 답안을 보고 익히고 공부하는 것이 맞는게 아닌가요?라는 생각을 하게 되는 것입니다. 효과적으로 고부하는 게 맞는 것 아닌가 하는 생각을 하게 됩니다. 하지만 이렇게 공부하는 것은 반드시 문제를 만들어 냅니다.

당장 학년이 올라가도 모의고사에서 고난도 문제에 대해서 해결이 잘 안됩니다. 그리고 평가원은 지금까지 모의고사를 출제하고 수능을 출제하면서 모범답안이라는 것을 내놓은 적이 없습니다. 우리가 알고 있는 답안지는 누군가 풀어놓고 마치 자신이 모범답안인 것처럼 하고 있는 것입니다. 이 세상은 모범답안이 있는 세상이 아닙니다. 대학에 가거나 혹은 우리가 사는 인생과 같이 세상에는 모범답안이 없다는 것을 알게됩니다. 모범답이 없으면 참고하여 공부할 것이 없어지는 것이기 때문입니다.

즉 모범답안이 없으면 아무것도 할 수 없기 때문입니다. 

왜 개념을 찾아보고 연구하고 정리하는 공부를 해야할까요?

그것은 정말 어려운 문제를 만나거나 대학을 가게 되면 알게 됩니다. 답안지를 보고 공부한다는 것은 정답을 알고 한다는 것입니다. 하지만 해결하기 힘든 고난도 문제와 혹은 모범답안이 없는 문제는 '연구력'을 가진 사람만이 해결해냅니다. 그것을 해결해내는 사고력이 훈련되어야 한다는 것입니다.  그래서 우리는 연구력을 가진 사람이 되어야 합니다.이 세상에 답이 없는데 답이 있는 것을 따라하는 것이 얼마나 위험한지 생각해볼 문제입니다.

답이 있다는 것은 그 상황이나 문제가 해결요소가 간단하다는 것입니다.그리고 수학공부에서만큼은 누군가 풀어놓은 것이 좋은 답안이라고 할 수 없습니다. 더 좋은 방법이 늘 존재하기 때문입니다. 다만 간단한 문제에서는 누구나 똑같은 방법으로 해결합니다. 변별력이 있는 문제들은 같은 방법의 풀이보다는 다양한 방식의 문제풀이 나오게 됩니다. 그래서 연구하고 공부하는 사람들은 어려운 문제를 만나면 더 뛰어난 능력을 발휘합니다.

연세대학교 대학원에서 공부하는 모습을 본 같이 공부하는 한 사람이 제가 정리한 두꺼운 노트를 보면서 "참 대단해"라고 칭찬을 하면서 옆에 다른과의 젊은 대학원생에게 "대단하지 않아요?"라고 말하니 그 젊은 대학원생에 저를 쳐다보면서 한다는 말이"교수님이 유명하셔서 인터넷에 뒤지면 요약본 나와요 그것으로 시험준비하세요. 뭐하러 힘들게 그렇게 하세요"라고 말하는 것을 보았습니다. 소위 명문대에 다니는 학생의 말이 저를 충격에 빠지게 하였습니다. 이러한 사람들이 이 시대를 이끄는 리더가 된다면 아마도 대한민국에서 일어난 엄청난 최순실게이트'국정농단'의 사건이 또 일어나지 말라는 법은 없습니다.

정신이 번쩍나는 상황이었습니다. 

어떻게 공부해야 하나요?

저의 경우를 사례를 들어 설명해보고자 합니다. 제가 노트를 정리할 때의 마음입니다.

백지노트로 작성하는 공부법무엇인가를 참고하여 적는 것이 아니라 그냥 백지에 적는 것이 필요합니다. 저의 경우는 노트북을 꺼내서 혹은 핸드폰과 블루투스키보드를 꺼내어 생각을 적어갑니다. 그 과목을 공부한 내용을 정리해나갑니다. 빠지는 것이 많지만 그래도 그렇게 해나갑니다. 그렇게 하다보면 제 머리속의 상태가 그대로 나타나는 것입니다.그것에 첨삭을 해나가면서 공부를 합니다. 그렇게 하다보면 공부하는 사람의 마음과 가르치는 사람의 마음이 모두가 나타나면서 공부하는 내용의 질이 좋아집니다.

답안지와 비교하는 공부수학공부를할 때 자신이 푼것과 답안지의 것을 비교하는 공부는 나쁜 것만은 아닙니다. 하지만 답안지와 비교할 때의 시간이 중요한 것입니다. 문제를 해결하기 위해서 충분히 노력한 후라면 처음에 어떻게 사고하는지 무엇을 중점으로 보고 문제를 접근하는지 비교하는 것은 좋은 공부가 됩니다.하지만 잊지 말아야할 것은" 답안지를 작성하는 사람은 이미 문제에 대한 답을 알고 작성하는 것이다"라는 사실입니다. 따라서 문제에서 무엇을 중점적으로 봐야하고 어떤 키워드가 중요한 것인지를 설명하지 않습니다. 따라서 답안지를 참고할 때 중요한 것은 " 왜 저렇게 풀이를 시작하는가". " 어떤 개념을 참고하여 해결하는가"등입니다.

문제를 만들거나 변행해보는 공부문제를 바꾸어본다는 것은 '숫자'만 바꾸어도 됩니다. 하지만 숫자하나 바꾸었는데 문제가 안풀리기도 하는 것이 수학입니다.수학은 답인 존재하는 범위가 있기도 합니다. 개념의 오류로 인하여 답이 안나오기도 합니다. 세상의 모든 문제가 답이 있다고 믿기에 생기는 오류이기도 합니다. 그리고 문제를 변형하거나 만들어보게 되면 어떻게 하면 아이들이 문제를 풀다가 실수하는지도 알게 됩니다즉, 아이들을 함정에 빠지게 하는 문제도 만들 수 있게 되는 것입니다. 출제자의 의도를 파악하는 공부라는 것입니다. 혹은 이러한 문제를 만들어 보는 공부는 수학문제의 출제에 대한 문법을 알게 됩니다. 그것을 통해서 실력이 향상되고 사고력이 향상되는 것이라고 볼 수 있습니다